Laplace – 라플라스 변환

사용자 삽입 이미지피에르 시몽 마르키 드 라플라스 – 프랑스 수학자
   (Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749년 3월 23일 – 1827년 3월 5일)
  《천체역학》, 《확률론의 해석이론》등의 명저를 남겼으며, 라플라스 변환, 라플라스
  방정식 등에 그의 이름이 남아있다. 귀족집안에서 태어났으며, 1765년부터 칸의 한 예수회
  계열 대학에서 공부했다. 1771년부터는 파리 군관학교에서 교편을 잡았다. 나폴레옹 보나
  파르트가 그의 제자 중 한명이다. 1773년 파리 아카데미의 회원이 되며, 1788년 마리 샤를
  로트와 결혼한다. 1799년엔 내무부 장관으로 발탁된다.

1. 라플라스 변환

    L = LAPLACE(F) is the Laplace transform of the scalar sym F with default independent variable t.
   The default return is a function of s.  If F = F(s), then LAPLACE returns a function of t:  L = L(t).
   By definition L(s) = int(F(t)*exp(-s*t),0,inf), where integration occurs with respect to t.

    L = LAPLACE(F,t) makes L a function of t instead of the default s:
    LAPLACE(F,t) <=> L(t) = int(F(x)*exp(-t*x),0,inf).
    L = LAPLACE(F,w,z) makes L a function of z instead of the
    default s (integration with respect to w).
    LAPLACE(F,w,z) <=> L(z) = int(F(w)*exp(-z*w),0,inf).
       syms a s t w x
       laplace(t^5)           returns   120/s^6
       laplace(exp(a*s))      returns   1/(t-a)
       laplace(sin(w*x),t)    returns   w/(t^2+w^2)
       laplace(cos(x*w),w,t)  returns   t/(t^2+x^2)
       laplace(x^sym(3/2),t)  returns   3/4*pi^(1/2)/t^(5/2)
       laplace(diff(sym(‘F(t)’)))   returns   laplace(F(t),t,s)*s-F(0)

2. 역라플라스 변환

    ILAPLACE Inverse Laplace transform.
    F = ILAPLACE(L) is the inverse Laplace transform of the scalar sym L with default independent variable s.
    The default return is a function of t.  If L = L(t), then ILAPLACE returns a function of x: F = F(x).
    By definition, F(t) = int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf) where c is a real number selected so that all
   singularities of L(s) are to the left of the line s = c, i = sqrt(-1), and the integration is taken with respect to s.
    F = ILAPLACE(L,y) makes F a function of y instead of the default t:
        ILAPLACE(L,y) <=> F(y) = int(L(y)*exp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf).
    Here y is a scalar sym.
    F = ILAPLACE(L,y,x) makes F a function of x instead of the default t:
    ILAPLACE(L,y,x) <=> F(y) = int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf),
    integration is taken with respect to y.
       syms s t w x y
       ilaplace(1/(s-1))              returns   exp(t)
       ilaplace(1/(t^2+1))            returns   sin(x)
       ilaplace(t^(-sym(5/2)),x)      returns   4/3/pi^(1/2)*x^(3/2)
       ilaplace(y/(y^2 + w^2),y,x)    returns   cos(w*x)
       ilaplace(sym(‘laplace(F(x),x,s)’),s,x)   returns   F(x)

3. 부분분수 전개

    RESIDUE Partial-fraction expansion (residues).
    [R,P,K] = RESIDUE(B,A) finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of
    the ratio of two polynomials B(s)/A(s).
    If there are no multiple roots,

       B(s)       R(1)       R(2)             R(n)
       —-  =  ——– + ——– + … + ——– + K(s)
       A(s)     s – P(1)   s – P(2)         s – P(n)

    Vectors B and A specify the coefficients of the numerator and denominator polynomials in descending
    powers of s.  The residues are returned in the column vector R, the pole locations in column vector P,
    and the direct terms in row vector K.  The number of poles is n = length(A)-1 = length(R) = length(P).
    The direct term coefficient vector is empty if length(B) < length(A),
    otherwise length(K) = length(B)-length(A)+1.

* 참고:

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