D.Blog v5.0

% Feedback Control of Dynamic Systems, 5e - Fig. 5.18 close all, clear, clc num=1; den=conv([1,2,0],[1,2,5]); sys=tf(num,den); figure('name','Poles and Zeros') hold on pzmap(sys) plot([-2,0],[0,0],'b','linewidth',2) axis([-4,1,-3,3]) title('Zeros and Poles: L=1/s(s+2)[(s+1)^2+4)','fontsize',11) plot([-4,1],[-3,2],'r:') plot([-4,1],[3,-2],'r:') plot([-1,-1],[-2,2],'b','linewidth',2) plot(0,1.58,'mo') plot(0,-1.58,'mo') plot(-1,0,'ko') plot(-1,-1.22,'ko') plot(-1,1.22,'ko') figure('name','Root-Locus') rlocus(sys); axis([-4,1,-3,3]) set(gca,'xtick',[-4:1]); Z=0:0.1:4; W=1:1:5; sgrid(Z,W) title('Root locus: L=1/s(s+2)[(s+1)^2+4)','fontsize',11) *참고: Feedback Control of Dynamic Systems 5E

크리에이티브 커먼즈 라이센스

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정의:


특성:


기본함수:(matlab 내장)
function y=diric(x,N)
  error(nargchk(2,2,nargin,'struct'));
  if round(N) ~= N || N < 1 || numel(N) ~= 1,
      error(generatemsgid('MustBePosInteger'),'Requires N to be a positive integer.');
  end

  y=sin(.5*x);
  i=find(abs(y)>1e-12);   % set where x is not divisible by 2 pi
  j=1:length(x(:));
  j(i)=[];                         % complement set
  y(i)=sin((N/2)*x(i))./(N*y(i));
  y(j)=sign(cos(x(j)*((N+1)/2)));

그래프:
t=[-3*pi:0.01:3*pi];
y=5*diric(t,5);y2=11*diric(t,11);
hold on
plot(t,y,'b-'), plot(t,y2,'r')
axis([-3*pi,3*pi,-5,12]), title('Dirichlet Kernel Function'), grid on
legend('diric(t,5)','diric(t,11)')
hold off

* 참고: http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_kernel

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정의:


특성: (표준화한 sinc 함수에서) x가 0을 제외한 정수값일 때 0을 지남. x가 0일 때는 1값을 가짐.
        x가 0일 때는 l'Hospital's 정리를 이용하여 값을 구할 수 있음. 면적의 합은 1.

기본함수:(matlab 내장)
function y=sinc(x)
  i=find(x==0); % x값이 0일 때의 index 번호를 i에 저장
  x(i)= 1;        % From LS: don't need this is /0 warning is off
  y = sin(pi*x)./(pi*x);
  y(i) = 1;       % x가 0일 때 y값은 1로 지정 by l'Hospital's Theorem

그래프:
x=[-5:0.1:5];y=sinc(x);y2=sinc(x).^2;
xl=[-1,0,1];yl=[0,1,0];
hold on
plot(x,y), plot(x,y2,'r'), grid on, axis([-5,5,-0.5,1.5])
line(xl,yl,'color','k','linestyle','-.')
title('Normalized Sinc Function Graph')
legend('sinc(x)','sinc^2(x)')
hold off

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1. Step
 
    - 함수 구문: 
           step(sys)
           step(sys,t)
           step(sys1,sys2,...,sysN,t)
           [y,t] = step(sys)
 
    - 예제 1: 
           a = [-0.5572   -0.7814;0.7814  0];
           b = [1 -1;0 2];
           c = [1.9691  6.4493];
           sys = ss(a,b,c,0);
           step(sys)

4. Lsim

     - 함수 구문: 
           lsim(sys,u,t)
           lsim(sys,u,t,x0)
           lsim(sys,u,t,x0,'zoh')
           lsim(sys,u,t,x0,'foh')

     - 예제: 
           [u,t] = gensig('square',4,10,0.1);
           H = [tf([2 5 1],[1 2 3]) ; tf([1 -1],[1 1 5])]
           lsim(H,u,t)

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A Nyquist plot is used in automatic control and signal processing for assessing the stability of a system with feedback. It is represented by a graph in polar coordinates in which the gain and phase of a frequency response are plotted. The plot of these phasor quantities shows the phase as the angle and the magnitude as the distance from the origin. This plot combines the two types of Bode plot — magnitude and phase — on a single graph, with frequency as a parameter along the curve. The Nyquist plot is named after Harry Nyquist, a former engineer at Bell Laboratories.

Assessment of the stability of a closed-loop negative feedback system is done by applying the Nyquist stability criterion to the Nyquist plot of the open-loop system (i.e. the same system without its feedback loop). This method is easily applicable even for systems with delays which may appear difficult to analyze by means of other methods.

Nyquist and related plots are classic methods of assessing stability, but have been supplemented or supplanted by computer-based mathematical tools in recent years. Such plots remain a convenient method for an engineer to get an intuitive feel for a circuit.

< MATLAB 함수 설명 >

  - nyquist(sys) : plots the Nyquist response of an arbitrary LTI model sys.

  - nyquist(sys,w) : explicitly specifies the frequency range or frequency points to be used for the plot.
                                 To focus on a particular frequency interval, set w = {wmin,wmax}

  - nyquist(sys1,sys2,...,sysN) or nyquist(sys1,sys2,...,sysN,w)
                : superimposes the Nyquist plots of several LTI models on a single figure.
                  You can also specify a distinctive color, linestyle, and/or marker for each system plot
                   with the syntax nyquist(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN')

      When invoked with left-hand arguments return the real and imaginary parts of the frequency
      response at the frequencies w (in rad/sec)
             [re,im,w] = nyquist(sys)   or   [re,im] = nyquist(sys,w)

< 예제 코드 및 출력 결과>

    - Plot the Nyquist response of the system
       

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% 앞의 개미의 방향을 따라 일정한 속력으로 이동하는 개미의 궤적

X=[0 0 1 1];                                 % X 좌표
Y=[0 1 1 0];                                 % Y 좌표
r=[X;Y];
v=0.0005;                                    % 개미의 이동 속도
track=r;                                     % 초기 위치 좌표
tmax=10000;                                  % 최종 시간
color=char('or','hb','+','d');               % 4마리 개미 표시 설정

for t=2:tmax
    direction=r(:,[2 3 4 1])-r(:,[1 2 3 4]); % 앞의 개미에서 자신의 위치를 계산한 방향
    udir=direction/norm(direction(:,1));     % 방향 단위 벡터
    r=r+v*udir;                              % 속도에 방향을 곱하여 위치 계산
    if norm(r(:,1)-[0.5;0.5]) < 0.01         % 개미가 중앙에 오면 break 명령
        break;
    end
    track(:,:,t)=r;                          % 개미 4마리의 위치를 track에 저장
end

t=1;                                         % 값 초기화
x=[];y=[];
for m=1:4                                    % 각 개미의 x,y 좌표를 track으로 부터 계산
    x(:,m)=squeeze(track(1,m,:));
    y(:,m)=squeeze(track(2,m,:));
end

clf                                          % 기존 이미지를 지우고 재설정
cla reset;
hold on                                      % 이미지 유지 on
plot(x,y)                                    % 개미의 궤적을 그림
for m=1:4                                    % 개미 4마리를 초기 위치에 표시
    p(m)=plot(x(1,m),y(1,m),color(m),'EraseMode','xor');
end

for t=1:length(x(:,1))                       % 시간의 변화에 따라 set을 이용하여 개미 위치 변화
    for m=1:4
        set(p(m),'XData',x(t,m),'YData',y(t,m))
    end
    drawnow
end

axis([0 1 0 1])                              % x, y 축 설정
hold off

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% Monte Carlo 적분 - 임의 수에 대해 반원 내에 들어가는 수를 측정하여 면적 계산

Nshoot=1000;                                                           % 발생시킬 임의 수의 개수
square=[0 0 1 1 0;0 1 1 0 0];                                      % 1행은 x좌표, 2행은 y좌표로 쓰일 예정
cla reset;                                                                % 축 재설정(초기화)

hold on                                                                   % Figure 유지
fill(square(1,:),square(2,:),'y');                                  % (0.0)부터 (1.1)을 지나 다시 돌아오는 영역, 노란색
t=0:0.1:pi/2;
[x,y]=pol2cart(t,repmat(1,size(t)));                            % 각좌표계로 표현된 반원을 직각좌표계로 변환
plot(x,y,'r')                                                             % 반원 그리기
sum=0;

for m=1:Nshoot                                                        % 임의수를 지정한 수만큼 반복
    x=rand; y=rand;                                                   % 임의수
    if norm([x y]) < 1                                                % x나 y에서 가장 큰 값이 1보다 작음, 반원내의 값 의미
        sum=sum+1;                                                   % 조건 만족시에 sum 값을 증가시킴
        plot(x,y,'.','MarkerSize',8)                               % 마커크기를 8로 좌표 표시
    end
end

area=sum/Nshoot;                                                  % 전체 임의 수의 개수에 대한 sum의 값으로 면적 계산
text(0.6,0.9,sprintf('Area (exact) = %.3g',pi/4));
text(0.6,0.95,sprintf('Area (Monte) = %.3g',area));  
set(gca,'xlim',[0 1])                                               % x축 제한
axis equal off
hold off

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학교에서 matlab을 이용 할 때마다 두꺼운 책을 보기에 불편함이 있어,
블로그를 통해 함수 요약정리하려고 한 것이 여기까지 오게 된 것 같습니다.

블로그에 있는 내용은 처음 글에서 밝힌 것처럼
'Matlab 입문과 활용 - 높이깊이'의 요약 부분입니다.

위 책에는 뒤쪽에 simulink와 진동해석, 제어시스템 설계 부분이 있는데,
이 부분은 아직 제가 모르는 부분이 많고, 블로그에서 다루기 복잡한 것 같습니다.
그래서 이 글을 마지막으로 함수 정리는 마지막이 될 것 같습니다.

앞으로 올리게 될 내용은 예전에 '과학계산 프로그래밍' 수업 때,
교수님께서 올려주신 강의노트를 바탕으로 몇 개의 글을 올릴 예정입니다.

그리고 대학교 수업을 통해 matlab을 이용한다면
그때마다 필요한 부분을 정리해서 올릴 계획입니다.

matlab에 관해 자세한 공부를 하고자 하는 분은
http://matlabschool.com/ 사이트를 방문하시면 도움이 될 것 같습니다.

아래 첨부파일은 지금까지 블로그에 올라온 내용입니다.
블로그에 글을 작성할 때 먼저 word를 이용하고 복사하는 식으로
작성하였기 때문에 아래 내용이 원본이라고 할 수 있습니다.
그런데 페이지 구성을 위해서 이미지가 하나 빠진 부분이 있고,
블로그의 내용과 약간 차이가 있을 수는 있습니다.
p.s. 부족한 matlab 글들을 읽어주신 분들께 감사드립니다.

Matlab-함수 정리.pdf

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가. 데이터 분석 함수
   - max(x): 최대값, min(x): 최소값, mean(x): 평균값, median(x): 중간값
   - sum(x): 합, prod(x): 누적곱, cumsum(x): 누적합, cumprod(x): 누적곱
   - sort(x): 정렬, var(x): 분산, std(x): 표준편차

나. 퓨리에 변환 – fft(x)
    - Matlab 내의 doc fft 내용
    >>Fs = 1000;                    % Sampling frequency
    >>T = 1/Fs;                     % Sample time
    >>L = 1000;                     % Length of signal
    >>t = (0:L-1)*T;                % Time vector
    % Sum of a 50 Hz sinusoid and a 120 Hz sinusoid
    >>x = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
    >>y = x + 2*randn(size(t));     % Sinusoids plus noise
    >>subplot(121)
    >>plot(Fs*t(1:50),y(1:50))
    >>title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
    >>xlabel('time (milliseconds)')

    >>NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y
    >>Y = fft(y,NFFT)/L;
    >>f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2);

    % Plot single-sided amplitude spectrum.
    >>subplot(122)
    >>plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2)))
    >>title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)')
    >>xlabel('Frequency (Hz)')
    >>ylabel('|Y(f)|')

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가. 함수
    - ode23: 2차 또는 3차의 Runge-Kutta method
                  (ODE23  Solve non-stiff differential equations, low order method)
    - ode45: 4차 또는 5차의 Runge-Kutta method
                  (ODE45  Solve non-stiff differential equations, medium order method)
    - 사용법: ode23(‘M-file’,time,Initial_Condition,Options), ode45(‘M-file’,time,Initial_Condition,Options)

나. 예제 - y’’=y’(1-y^2)-y의 해 구하기
    <m-file 내용>
       function U_prime=U_func5(x,u)
       U_prime=zeros(2,1);                                      % 변수를 0으로 초기화
       U_prime(1)=u(1)*(1-u(2)^2)-u(2);                    % 상태 변수를 사용한 1차 미분 방정식
       U_prime(2)=u(1);
    >>time=[0,30];                                                 % 시작과 끝점
    >>Initial_Condition=[0,0.1];                                % 초기조건 y(0)=0.1, y’(0)=0
    >>[x,Y]=ode45('U_func5',time,Initial_Condition);  % Y의 1열은 y’, 2열은 y를 의미
    >>dy=Y(:,1); y=Y(:,2);
    >>subplot(211); plot(x,dy); xlabel('x'); ylabel('dy')
    >>subplot(212); plot(x,y); xlabel('x'); ylabel('y')

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가. 라플라스 변환 – laplace(F)
    예) >>syms t a b
         >>F=t^2+sin(a*t)-t*cos(b*t);
         >>L=laplace(F)
         L= 2/s^3+a/(s^2+a^2)-(s^2-b^2)/(s^2+b^2)^2
         >>pretty(L)
                                               2    2
                           2        a       s  - b
                          ---- + ------- - ----------
                            3     2     2      2    2  2
                           s     s  + a    (s  + b ) 

나. 역라플라스 변환 – ilaplace(F)
    예) >>syms s a b
         >>L=2/s^3+a/(s^2+a^2)-(s^2-b^2)/(s^2+b^2)^2
         >>I=ilaplace(L)
         I= t^2+sin(a*t)-t*cos(b*t)

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가. 미분 – diff(x)
    예) >>x=0:0.1:100;
         >>y=x.^2.*exp(-0.1*x)-x;
         >>subplot(1,3,1)
         >>plot(x,y)                    % x^2 그래프
         >>dy=diff(y)./diff(x);       % 차분법에 의한 미분
         >>dx=x(2:length(x));       % 차분법에 의해 x의 개수가 1개 줄어듦
         >>subplot(1,3,2)
         >>plot(dx,dy)                  % 1차 미분 그래프
         >>ddy=diff(dy)./diff(dx);   % 2차 미분
         >>ddx=dx(2:length(dx));   % dx보다 개수가 1개 줄어듦
         >>subplot(1,3,3)
         >>plot(ddx,ddy)               % 2차 미분 그래프
 

    [참고] 차분법에 의한 미분은 데이터 사이 간격이 충분히 조밀해야 오차가 작으므로,
              데이터 간격이 클 경우 보간법을 이용한 후 미분법 사용.

나. 적분 – quad(‘M-file’,a,b,tol): simpson’s rule, quadl(‘M-file’,a,b,tol): Lobatto quadrature
                int(f,’x’): Symbolic 객체를 이용한 수식 적분, f를 x로 적분
      예제 1) <m-file 내용>
                 function y=func(x)
                   y=1./(1+x).^2;
                 >>quad('func',0,10)
                 ans = 0.909091053721440
                 >>quadl('func',0,10)
                 ans = 0.909090909256147
      예제 2) >>syms x                    % x를 symbolic로 지정
                 >>f=1/((1+x)^2);           % 함수식
                 >>int(f,'x')                   % symbolic 함수 적분
                 ans = -1/(1+x)
                 >>double(int(f,'x',0,10))    % 구간 0~10 에서 적분하고 값을 실수 변환
                 ans = 0.909090909090909

p.s. 만약 연산 결과의 소수 자리가 4자리만 표현되면, 'File' -> 'Preference...' -> 'Command Window' 에서
       Numeric Format을 long으로 바꾸면 됩니다.

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가. 다항식 값 구하기 – polyval(배열연산), polyvalm(행렬연산)
    예) >>func=[1,-3,2,1];
         >>x=10;
         >>y=polyval(func,x) %x^3-3*x^2+2*x+1
         y= 721
         >>x2=[5,6,7];
         >>y2=polyval(func,x2)
         y2= 61, 121, 211
         >>x3=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
         >>y3=polyval(func,x3)
         y3=  1     1     7
             25    61   121
            211   337   505
         >>y4=polyvalm(func,x3) %Matrix must be square
         y4=  381         472         564
               872        1073        1272
             1364        1672        1981

나. 다항식의 산술 연산 -> + : 덧셈, - : 뺄셈, conv(a,b) : 곱셈, deconv(a,b) : 나눗셈,
                                       [R,P,K] = residue(f,g): 부분 분수 전개(R:나머지, P:극, K항)
    예) >>a=[1,2,3];                     예) >>f=[1,5,9,7];    % x^3+5*x^2+9*x+7
         >>b=[4,5,6];                          >>g=[1,3,2];     % x^2+3*x+2
         >>c= conv(a,b)                      >>[R,P,K]=residue(f,g)
         c= 4 13 28 27 18                      R= -1 ; 2
         >>deconv(c,a)                      P= -2 ; -1
         ans= 4, 5, 6                           K= 1 2           % -1/(x-(-2)) + 2/(x-(-1)) + x + 2

다. 다항식의 해 구하기 – roots(coeff)
    예) >>func=[1,-3,-1,3];
         >>p=roots(func)
         p= 3.0000 ; 1.0000 ; -1.0000
    예) >>func=[1,-2,-3,4];
         >>s=roots(func)
         s= -1.6506         
             -0.1747 + 1.5469i
             -0.1747 - 1.5469i

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가. 선형 보간법 - interp1(x,y,x0), interp2(x,y,z,x0,y0)
    예) >>x=[40 48 56 64 72 80];
         >>y=[1.33 1.67, 2.08 2.36 2.71 3.19];
         >>plot(x,y,'o-')
         >>interp1(x,y,52)    %x값이 52일 때 y에 해당하는 값을 구함
         ans = 1.8750


 나. Cubic spline 보간법 - spline(x,y,x0)
    예) >>x=[40 48 56 64 72 80];
         >>y=[1.33 1.67, 2.08 2.36 2.71 3.19];
         >>x1=40:0.5:80;
         >>y1=spline(x,y,x1);
         >>plot(x,y,'o',x1,y1)
         >>spline(x,y,52)    %x값이 52일 때 y에 해당하는 값을 구함
         ans = 1.8860

 
다. 최소 자승법에 의한 곡선의 근사 - polyfit(x,y,1)
    예) >>x=[40 48 56 64 72 80];
         >>y=[1.33 1.67, 2.08 2.36 2.71 3.19];
         >>P=polyfit(x,y,1);
         >>plot(x,y,'o',x,P(1).*x+P(2))

 
라. 다항식을 사용한 회귀 곡선 - polyfit(x,y,N), polyval(P,x)
    예) >>x=[40 48 56 64 72 80];
         >>y=[1.33 1.67, 2.08 2.36 2.71 3.19];
         >>x1=40:0.5:80;
         >>P1=polyfit(x,y,2); %2차 다항식을 이용
         >>y1=polyval(P1,x1);
         >>P2=polyfit(x,y,5); %5차 다항식을 이용
         >>y2=polyval(P2,x1);
         >>plot(x,y,'o',x1,y1,x1,y2)

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가. 역행렬을 이용한 선형 연립 방정식의 해
    예) 3a+2b-c=10, -a+3b+3c=5, a-b-c=-1 의 해를 구하기
       >>A=[3,2,-1;-1,3,3;1,-1,-1];
       >>B=[10;5;-1];
       >>X=inv(A)*B
       X=1.000; 3.000; -1.000 % a, b, c

나. 행렬 나누기를 이용한 선형 연립 방정식의 해
    예) >>A=[3,2,-1;-1,3,3;1,-1,-1];
       >>B=[10;5;-1];
       >>X=A\B
       X=1.000; 3.000; -1.000 % a, b, c

다. 행렬의 삼각 분해를 이용한 선형 연립 방정식의 해
    예) >>[Lp,U]=lu(A);
       >>Y=inv(Lp)*B;
       >>X=inv(U)*Y;
       X=1.000; 3.000; -1.000 % a, b, c

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가. 전치 행렬 – transpose(A) 또는 A’, (ctranspose: 켤레 복소수의 전치 행렬)
    예) >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
         >> transpose(A)
         ans = [1,4,7;2,5,8;3,6,9]

나. 역행렬 – inv(A)

다. 행렬식 – det(A)
    예) >> syms k1, k2, k3
         >> k = [(k1+k2+k3),-(k2+k3);-k3,(k2+k3)]
         k = [ k1+k2+k3,   -k2-k3]
              [      -k3,    k2+k3]
         >> det(k)
         ans = k1*k2+k1*k3+k2^2+k2*k3

라. 계수 – rank(A) : 원래 행렬의 행이나 열의 수에서 reduced row echelon form 행렬에서 행의
                            요소가 모두 0인 행의 수를 뺀 값. (rref : reduced row echelon form 행렬 생성)
   예) >> a=[1,-2,3;2,-5,1;1,-4,-7]
        >> rank(a)
        ans = 2
        >> rref(a)
        ans = [1,0,13;0,1,5;0,0,0] %rref에서 행의 요소가 모두 0인 행은 3행 뿐임.

마. trace – trace(A) : 행렬의 대각 요소의 합

바. 대각 행렬 – diag(A) : 대각 성분을 제외한 모든 요소가 0인 행렬

사. 삼각 인수 분해
     1. [L,U,P] = lu(A). (L: 하삼각 행렬, U: 상삼각 행렬, P:순열 행렬), PA = LU
     2. [Lp U] = lu(A). (Lp: permuted 하삼각 행렬, U: 상삼각 행렬), Lp = inv(P)*L

아. 직교 인수 분해 – [Q,R,E] = qr(A) (Q: unitary 행렬, R: 상삼각 행렬, E: 순열행렬), AE = QR

자. Cholesky 인수 분해 – [R,p,S] = chol(A) (R: 상삼각 행렬)

차. 고유치와 고유 벡터 – [X,lamda] = eig(A), (X: 고유벡터, lamda: 고유치)
     - A*X = lamda*X, X가 0이 아닌 해를 갖기 위한 lamda 값을 고유치, X를 고유벡터라 함.
     - (A-lamda*I)X = 0, det(A-lamda*I) = 0, (poly: 행렬의 특성 방정식)

카. 놈(norm)
    1. 벡터 norm – norm(x,p): sum(abs(x).^p)^(1/p)와 같음. norm(x,inf) = max(abs(x))
    2. 행렬 norm – norm(A,1): 열의 절대값의 합 중 가장 큰 값, max(sum(abs(A)))와 같음.
                         norm(A,inf): 행의 절대값의 합 중 가장 큰 값, max(sum(abs(A’)))
                         norm(A,’fro’): 모든 요소의 제곱의 합에 대한 제곱근, sqrt(sum(diag(A’*A)))
                         norm(A) 또는 norm(A,2): 행렬 A의 가장 큰 singular value, max(svd(A))

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