6. 행렬 연산

가. 전치 행렬 – transpose(A) 또는 A’, (ctranspose: 켤레 복소수의 전치 행렬)
    예) >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
         >> transpose(A)
         ans = [1,4,7;2,5,8;3,6,9]

나. 역행렬 – inv(A)

다. 행렬식 – det(A)
    예) >> syms k1, k2, k3
         >> k = [(k1+k2+k3),-(k2+k3);-k3,(k2+k3)]
         k = [ k1+k2+k3,   -k2-k3]
              [      -k3,    k2+k3]
         >> det(k)
         ans = k1*k2+k1*k3+k2^2+k2*k3

라. 계수 – rank(A) : 원래 행렬의 행이나 열의 수에서 reduced row echelon form 행렬에서 행의
                            요소가 모두 0인 행의 수를 뺀 값. (rref : reduced row echelon form 행렬 생성)
   예) >> a=[1,-2,3;2,-5,1;1,-4,-7]
        >> rank(a)
        ans = 2
        >> rref(a)
        ans = [1,0,13;0,1,5;0,0,0] %rref에서 행의 요소가 모두 0인 행은 3행 뿐임.

마. trace – trace(A) : 행렬의 대각 요소의 합

바. 대각 행렬 – diag(A) : 대각 성분을 제외한 모든 요소가 0인 행렬

사. 삼각 인수 분해
     1. [L,U,P] = lu(A). (L: 하삼각 행렬, U: 상삼각 행렬, P:순열 행렬), PA = LU
     2. [Lp U] = lu(A). (Lp: permuted 하삼각 행렬, U: 상삼각 행렬), Lp = inv(P)*L

아. 직교 인수 분해 – [Q,R,E] = qr(A) (Q: unitary 행렬, R: 상삼각 행렬, E: 순열행렬), AE = QR

자. Cholesky 인수 분해 – [R,p,S] = chol(A) (R: 상삼각 행렬)

차. 고유치와 고유 벡터 – [X,lamda] = eig(A), (X: 고유벡터, lamda: 고유치)
     – A*X = lamda*X, X가 0이 아닌 해를 갖기 위한 lamda 값을 고유치, X를 고유벡터라 함.
     – (A-lamda*I)X = 0, det(A-lamda*I) = 0, (poly: 행렬의 특성 방정식)

카. 놈(norm)
    1. 벡터 norm – norm(x,p): sum(abs(x).^p)^(1/p)와 같음. norm(x,inf) = max(abs(x))
    2. 행렬 norm – norm(A,1): 열의 절대값의 합 중 가장 큰 값, max(sum(abs(A)))와 같음.
                         norm(A,inf): 행의 절대값의 합 중 가장 큰 값, max(sum(abs(A’)))
                         norm(A,’fro’): 모든 요소의 제곱의 합에 대한 제곱근, sqrt(sum(diag(A’*A)))
                         norm(A) 또는 norm(A,2): 행렬 A의 가장 큰 singular value, max(svd(A))